$\overline{z_1\pm z_2} = \overline{z_1}\pm \overline{z_2}$
$z\overline{z}=(Rez)^2+(Imz)^2=|z|^2$

欲证一个诸如$\frac{z}{1+z^2}$为实数，等价于证明

$$\frac{z}{1+z^2} = \overline{\frac{z}{1+z^2}}$$

有欧拉公式

$$e^{i\varphi} = cos\varphi + isin\varphi$$

$r$为$z$的模，$\varphi$为$z$的辐角，记作

$$r=|z|,\varphi=Argz.$$

对于一个复数，其辐角主值记作$argz,argz\in(-\pi,\pi]$，当$z=0$时，辐角是无意义的。
两个三角形式的复数$z_1=r_1e^{i\varphi_1}$及$z_2=r_2e^{i\varphi_2}$相等的充要条件为

$$r_1=r_2,\varphi_1=\varphi_2+2k\pi$$

两个复数共轭的条件可以表示为

$$|\overline{z}| = |z|,arg\overline{z} = -argz,argz\neq \pi$$

一个复数的乘方表示为

$$z^n = r^ne^{in\varphi} = r^n(cosn\varphi+isinn\varphi)$$

一个复数的开方表示为

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+isin\frac{\varphi+2k\pi}{n}). k = 0,1,...,n-1$$

设$z_0 = x_0 + iy_0,z_n=x_n+iy_n,n=1,2,...$，则

$${\lim_{n \to +\infty}}z_n=z_0$$

$$\lim_{n \to+\infty} x_n = x_0,\lim_{n \to +\infty} y_n = y_0$$

如果$z_0 \neq 0$，则

$$\lim_{n \to +\infty} z_n = z_0$$

$$\lim_{n \to +\infty} |z_n| = |z_0|, \lim_{n \to +\infty} Argz_n = Argz_0$$

如果等式

$$\lim_{z \to z_0}f(z) = f(z_0)$$

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}u(x,y) = u(x_0,y_0)，\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}v(x,y) = v(x_0,y_0)$$

成立，则$f(z)$在点$z_0$连续

函数$f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$在点$z=x+iy$可微的充要条件是:$u(x,y),v(x,y)$在点$(x,y)$可微，且满足C-R方程

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

足C-R方程时，有类似以下方程的四个式子

$$f^\prime(z)=\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$