题目

一个数字，将各个位求和，删去一个数，并且说出剩余位上各数之和，可以猜出删去的数是什么。

思路

通过列举发现，一个数减去各个位之和后的数必定为⑨的倍数，如果可以证明这一点并且证明这个数在删去一位后仍位⑨的倍数即可。

证明

对于任何一个十进制数(以4位数为例)，都可以写成

$$a_{1}*1000+a_{2}*100+a_{3}*10+a_{4}$$

有取模(mod)运算符,取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

mod有以下性质

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p

设\(x=a_{1}*1000+a_{2}*100+a_{3}*10+a_{4}\)

x减去各个位数之和即\(a_{1}*1000+a_{2}*100+a_{3}*10+a_{4} - a_{1} - a_{2} - a_{3} -a_{4}\)

等于\(a_{1}*999+a_{2}*99+a_{3}*9 = y\)

\(y\bmod 9 = a_{1}*999 \bmod 9 +a_{2}*99 \bmod 9 +a_{3}*9 \bmod 9 = 0 \)

所以一个数减去各个位之和后的数必定为⑨的倍数

对于任意的一个⑨都倍数y都有

$$a_{1}*1000+a_{2}*100+a_{3}*10+a_{4} \bmod 9 = 0$$

可以写成

$$a_{1} \bmod 9 *1000 \bmod 9+a_{2} \bmod 9 *100 \bmod 9+a_{3}\bmod 9*10 \bmod 9+a_{4} \bmod 9 = 0$$

即

$$a_{1} \bmod 9 *1+a_{2} \bmod 9 *1+a_{3} \bmod 9 *1+a_{4} \bmod 9 = 0$$

所以 $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \bmod 9 = 0$$

也就是说⑨的倍数个各个位之和也是⑨的倍数，所以当说出删掉一个数后的各个位数之和时，可以通过判断该数和那个⑨的倍数最接近而猜出删去了哪个数